단층과 정책효과 추정: Part 3(비모수적 추정)

비모수적 추정

앞의 Part 2에서의 추정치에서도 편의가 발생하는 것은 특정한 함수형태를 가정하였기 때문이다(혹은, 회귀불연속설계의 가정이 만족되지 않아서 일 수도 있다).

비모수적 추정은 다음의 값을 추정하는 것이다.

$$ \hat{\delta} = \lim_{s \downarrow \tau} E[Y|X = \tau] -    \lim_{s \uparrow \tau} E[Y|X = \tau]   $$

예전에는 계산상 어려움 때문에 모수적 형태를 가정하고 추정하는 경향이 있었다.

하지만 STATA 에서는 rdrobust 라는 추정명령어가 있기 때문에 이를 사용하면 함수형태에 대한 가정없이도 비교적 쉽게 추정할 수 있다.

동일한 자료를 rdplot을 이용해서 다시 그려보자.

아래 그림에 그 결과가 제시되어 있다. 기본적으로 4차항까지 고려한 다항식을 이용하여 그린 것이기 때문에 part 2의 결과와 그림 상으로는 큰 차이가 없다.

하나의 차이는 part 2에서는 모든 자료의 산포도를 그린 반면,

아래 그림은 좌우측으로 구간을 적절히 나눠 구간별 평균을 구한 다음 산포도를 그린 것이다. 경우에 따라서는 아래 그림이 좀 더 깔끔하게 보일 수 있다.

. rdplot y forcing, c(0.0) p(4)  numbinl(50) numbinr(50)  ///
> graph_options(  xla(-.5(0.1)0.5,grid) yla(,grid) xtitle(covariate) ytitle(outcom
> e) )

Number of bins for RD estimates.
Method: Manually evenly spaced

               Cutoff c = 0 | Left of c     Right of c
----------------------------+-------------------------
     Number of observations |       486            514
           Polynomial order |         4              4
               Chosen scale |     1.000          1.000
----------------------------+-------------------------
              Selected bins |        50             50
                 Bin length |     0.010          0.010
----------------------------+-------------------------
          IMSE-optimal bins |        21             21
    Mimicking Variance bins |        45             42
----------------------------+-------------------------
Relative to IMSE-optimal:   | 
              Implied scale |     2.381          2.381
      WIMSE variance weight |     0.069          0.069
          WIMSE bias weight |     0.931          0.931
------------------------------------------------------

rdrobust 를 이용하여 추정한 결과는 아래에 제시되어 있다. 

rdrobust는 국지-다항회귀분석을 이용하여 RDD 를 추정한 결과이다. 비모수 추정이기 때문에 밴드폭이 중요하다. 여기에서는 Imbens and Kalyanaraman(2012)의 방법론을 이용하여 최적 밴드폭을 결정하여 RDD를 추정하였다. 국지-다항회귀의 차수는 2차로 하였다.

추정결과에 따르면 경계선 근처에서의 정책효과는 0.993으로 실제 정책효과 1.0과 거의 유사함을 알 수 있다.

. rdrobust y forcing, c(0.0) p(2) bwselect(IK)
Preparing data.
Computing bandwidth selectors.
Computing variance-covariance matrix.
Computing RD estimates.
Estimation completed.

Sharp RD estimates using local polynomial regression.

         Cutoff c = 0 | Left of c  Right of c            Number of obs = 1000
----------------------+----------------------            NN matches    = 3
        Number of obs |       221         230            BW type       = IK
 Order loc. poly. (p) |         2           2            Kernel type   = Triangular
       Order bias (q) |         3           3
    BW loc. poly. (h) |     0.213       0.213
          BW bias (b) |     0.300       0.300
            rho (h/b) |     0.709       0.709

Outcome: y. Running variable: forcing.
----------------------------------------------------------------------------------
      Method |    Coef.   Std. Err.     z      P>|z|     [95% Conf. Interval]
----------------------+-----------------------------------------------------------

Conventional |   .99311     .0611    16.2552   0.000       .873369    1.11286
      Robust |      -         -      14.4657   0.000       .870263    1.14305
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