천둥번개와 정책효과: 이중차분추정법 part 1

이중차분추정

환경의 변화가 이른바 준실험적(quasi-experimental) 혹은 자연실험(natural experimental)적 환경이 발생할 수 있다.

정책평가의 경우에는 준실험적 상황을 자주 사용하게 된다.

특히, 우리나라의 경우에는 정치적인 이유로 정책이 느닷없이 시행되는 경우가 많기 때문에 의도치 않은 준실험적 환경이 주어지는 경우가 많다.

학술적 연구에서도 정책효과를 식별하기 위해 준자연적 상황을 자주 사용하게 된다.

이중차분추정을 이용한 대표적인 연구는 Card & Krueger(1994, 이하 CK)의 연구이다.

CK는 최저임금이 실업에 미치는 효과를 추정하였다.

CK는 뉴저지주의 최저임금이 4.25 에서 5.05로 199년 4월 1일을 전후하여 상승한 점에 초점을 맞추었다.

CK는 1992년 2월과 10월에 뉴져지주 패스트푸드 식당의 고용자료를 수집하였다.

또한 인접주인 펜실베니아주의 동부지역에 대한 고용정보도 수집하였다. 펜실베니아주의 최저임금은 같은 기간 동안 4.25로 유지되었다.

펜실베니아주는 좋은 비교군이 될 것이다.

CK이 모형은 다음과 같이 간단히 요약해 볼 수 있다.

먼저, $D$를 최저임금 인상 여부를 나타내는 정책 더미변수라고 하자.

다음을 가정하자.

$$ E[y_{0} |D,X] = E[y_{0} |X] $$

위 가정은 최저임금 인상 전 두 지역의 평균 임금은 동일하다는 가정이다.

$s$ 지역의 $t$시점의 평균 임금을 아래와 같이 가정해보자.

$$ E[y_{0}│s,t]=\alpha_{s}+\lambda_{t} $$

최저임금이 인상이 있었으면 다음과 같이 $y_{1}$은 아래 식과 같이 결정된다고 가정하자.

$$ E[y_{1}│s,t]=E[y_{0}│s,t]+ \beta=\alpha_{s}+\lambda_{t}+ \beta $$

따라서 관측된 고용결과는 아래 식과 같은 회귀모형으로 나타낼 수 있다.

$$ y_{st}=\alpha_{s}+\lambda_{t}+\beta D_{st}+\epsilon_{st} $$

$D_{st}$는 $s$ 지역에 $t=1$인 경우에는 1, 나머지 경우에는 0을 갖는 더미변수이다.

아래 그림은 이중차분 추정의 아이디어를 보여주고 있다.

정책군의 고용률이 시행 전후로 해서 감소한 것으로 보인다.

하지만 통제군 역시 고용률이 감소하였고, 그 정도는 정책군보다 좀 더 큰 것으로 보인다.

만약 두 지역의 고용률의 추세가 동일하였다면 정책군의 정책 시행 이후의 고용률은 훨씬 낮았을 것이다.

정책 시행으로 그보다는 약간 상승한 것으로 보인다. 

이러한 차이가 정책의 효과로 추정되는 것이다.

Card & Krueger(1994)의 논문과 유사한 결과를 얻을 수 있는 실습을 해보자. 다음의 자료를 불러들이자.

. use fastfood, clear

fastfood.dta 자료의 조사 단위는 레스토랑이다. 뉴저지주의 주된 패스토랑은 버거킹(burger king), 켄터키후라이드치킨(KFC), 로이로져스(Roy Rogers), 웬디스(Wendys) 등이었다. 레스토랑 이름을 나타내는 변수는 chain 이다. tabulate를 통해서 살펴보자. 레스토랑의 분포는 다음과 같다.

. tab chain

      CHAIN |      Freq.     Percent        Cum.
------------+-----------------------------------
Burger King |        171       41.71       41.71
        KFC |         80       19.51       61.22
 Roy Rogers |         99       24.15       85.37
     Wendys |         60       14.63      100.00
------------+-----------------------------------
      Total |        410      100.00

뉴저지주에 위치해 있는 레스토랑이 전체 중 331개로 80.7%를 차지하고 있었다.

통제군인 펜실베니아주에 위치해 있는 레스토랑은 79개로 19.3%였다.

자료를 long-form 으로 전환한 후, 전일제 고용이 최저임금 인상 전후로 얼마나 변했는지 살펴보자.

tabulate 를 이용해서 정책 시행 전후로 하여 초봉이 어떻게 변했는지 살펴보자.

위 결과에 따르면 뉴져지의 경우 최저임금 인상 전에는 7.72명이던 전일제 노동자 고용자가 최저임금 인상 이후에는 8.45명으로 약 0.73명 정도 증가하였다. 최저임금에 변화가 없었던 펜실베니아주의 경우 10.21명에서 7.56으로 2.65명 줄었다. 위의 두 숫자를 이용하면 이중차분 추정치를 얻을 수 있다. 이중차분 추정치는 약 3.38명으로, 최저임금 인상에도 불구하고 뉴저지에 위치한 패스트푸드 레스토랑의 전일제 고용자는 오히려 늘었음을 알 수 있다. 남은 것은 이 이중차분 추정치의 표준오차를 구하는 것이다. 차분의 표준오차는 어렵지 않긴 하다. 기초통계학 수준의 지식만 있으면 구할 수 있다. 하지만 표준오차를 구하는 좀 더 쉬운 방식은 회귀분석을 이용하는 것이다.

. tab time state, summarize(empft) means standard

                  Means and Standard Deviations of empft

           |        STATE
      time |        PA         NJ |     Total
-----------+----------------------+----------
    Before |     10.21       7.72 |      8.20
           |     10.78       7.96 |      8.62
-----------+----------------------+----------
     After |      7.56       8.45 |      8.28
           |      8.49       7.84 |      7.97
-----------+----------------------+----------
     Total |      8.89       8.08 |      8.24
           |      9.77       7.91 |      8.30

위 회귀분석 결과에 따르면 공통추세는 우리가 분석하고 있는 동안 약 -2.74명 감소하는 것으로 보인다. 최저임금 인상으로 발생한 전일제 노동자수의 변화는 3.44명으로 앞에서 구한 3.38명과 비교해보면 다소 작게 추정되었다. 이러한 차이는 레스토랑의 고정효과를 포함했기 때문인 것으로 보여진다.

. gen d = (time == 2 & state == 1)

. label var d "treatment dummy"

. xtreg empft d i.time, fe robust

Fixed-effects (within) regression               Number of obs     =        802
Group variable: sheet                           Number of groups  =        410

R-sq:                                           Obs per group:
     within  = 0.0173                                         min =          1
     between = 0.0020                                         avg =        2.0
     overall = 0.0009                                         max =          2

                                                F(2,409)          =       2.55
corr(u_i, Xb)  = -0.1081                        Prob > F          =     0.0796

                                (Std. Err. adjusted for 410 clusters in sheet)
------------------------------------------------------------------------------
             |               Robust
       empft |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
           d |   3.442788   1.582815     2.18   0.030     .3313206    6.554256
             |
        time |
      After  |  -2.743421   1.489104    -1.84   0.066    -5.670674    .1838322
       _cons |   8.222253   .2579863    31.87   0.000     7.715108    8.729397
-------------+----------------------------------------------------------------
     sigma_u |  6.5909385
     sigma_e |  7.2808747
         rho |  .45038617   (fraction of variance due to u_i)
------------------------------------------------------------------------------

한편, 레스토랑에 대한 패널자료가 아니라 반복된 횡단면 자료가 주어졌다고 생각해보자. 그러면 정책 그룹 더미변수, 시점 더미변수, 그리고 두 더미변수의 교차항을 포함하여 OLS 추정하면 최저임금 인상으로 인해 전일제 고용이 어떻게 변했는지를 추정할 수 있다.

아래의 OLS 분석결과는 단순 이중차분 추정결과와 유사한 결과를 보여주고 있다. 먼저, 상수는 10.21로 펜실베니아주의 정책 시행전 고용 수준을 보여주고 있다. state 더미는 정책 시행전 뉴져지의 고용수준이 펜실베니아주에 비해 2.48명 적었다는 걸 보여주고 있다. 시점더미는 정책시행 전후로 두 주 공히 2.64명 감소하였음을 보여주고 있다. 이중차분 추정치는 3.36명이고, 5% 유의수준에서 통계적으로 유의하였다.

. xi: reg empft i.time*state, robust 
i.time            _Itime_1-2          (naturally coded; _Itime_1 omitted)
i.time*state      _ItimXstate_#       (coded as above)

Linear regression                               Number of obs     =        802
                                                F(3, 798)         =       1.54
                                                Prob > F          =     0.2033
                                                R-squared         =     0.0079
                                                Root MSE          =     8.2814

-------------------------------------------------------------------------------
              |               Robust
        empft |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
--------------+----------------------------------------------------------------
     _Itime_2 |  -2.640193   1.551133    -1.70   0.089    -5.684975    .4045892
        state |  -2.481202   1.293028    -1.92   0.055    -5.019339    .0569357
_ItimXstate_2 |    3.36175   1.671234     2.01   0.045     .0812158    6.642283
        _cons |   10.20513   1.215317     8.40   0.000     7.819533    12.59072
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